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La résistance au roulement d’une moto électrique : explications et calculs

Si vous cherchez à propulser votre moto électrique vers l’infini et au-delà, vous n’avez que très peu de possibilités. Dans quelques lignes, nous apprendrons que la meilleure solution pour une moto est de s’appuyer sur le sol. Ce faisant, nous asservissons le sol pour dévoiler notre talent le plus convoité : celui de fuser plus vite que le plus rapide des félins.

Le sol est pourtant et en même temps un obstacle diablement efficace pour nous empêcher d’atteindre notre objectif. L’air nous ralentit, alors qu’il n’est que gazeux. Que dire du sol, dont la densité est plus de mille fois supérieure ?

Vous me rétorquerez (si, je vous en prie, faites-le) que l’air enveloppe et appuie de toutes parts, tandis que le bitume n’agrippe que les pneus. Vous avez raison et je vous en félicite. Il n’empêche. Le sol n’est certes pas un obstacle 1000 fois plus fort que l’air. Mais il agit et s’accroche à nous.

Voici le contrat : à la fin de cet article, et quel que soit votre niveau, vous serez capable de connaître les forces engendrées par le sol sur le bout des doigts (sur le bout des phalanges distales, qui sont les phalanges au bout de nos doigts – il n’est pas de meilleur endroit pour apprendre l’anatomie qu’un site de motards).

Mais la vraie promesse est autre part et concerne la conception : vous aurez une clé supplémentaire pour calculer les efforts à transmettre à votre roue dans l’optique d’atteindre les caractéristiques que vous vous êtes fixées dans le cahier des charges de votre moto électrique.

Les plus téméraires viseront un passage de 0 à 100km/h en 3 secondes. Les plus réalistes viseront plutôt un passage du hamac à l’océan en 15 minutes. C’est plus fonctionnel, et ça marche aussi avec la version canapé-bière au bar du coin.

Enfin, si vous savez ce que vous cherchez, vous pouvez directement cliquer sur les liens du sommaire ci-dessous. Il sera à la fois votre boussole et votre carte topographique. En deux mots, il sera votre meilleur ami.

  1. La source de la résistance au roulement : le sol
  2. Vaincre la résistance au roulement
  3. Cela vous est-il déjà arrivé de faire crisser vos pneus ?

La source de la résistance au roulement : la relation entre votre moto électrique et le sol

Pas de sol, pas de moto

Les humains innocents que nous sommes ont une confiance parfois infinie dans la bonne foi de leurs semblables. Pourtant, soyons honnêtes. Nous en faisons toujours le moins possible, et notre cerveau est une fourmilière à biais cognitifs.

D’aucuns diront que les pubs ne fonctionnent pas sur eux. D’autres affirmeront qu’ils se souviennent réellement de ce souvenir d’enfance à l’âge de deux ans, quand ils avaient dévalé une pente sur leur tricycle et atterri sur une déjection bovine de 18 kg.

Mais nous savons au fond de nous que notre cerveau, ce boute-en-train, nous abreuve constamment de ses meilleures blagues. Si bien qu’il est aujourd’hui parfaitement acquis pour chacun d’entre nous, que lors des combats de gladiateurs, l’empereur et le public décidaient de la vie ou de la mort du vaincu. Ils agitaient leurs pouces de romains (vous êtes tous des romaines) et le pointaient avec élégance vers le haut ou vers le bas. Erreur terrible !

Ce geste n’est en réalité qu’une interprétation hasardeuse d’un peintre du 19ème (Jean-Léon Gérôme, le bien connu – ah bon ?), amplifiée par les films hollywoodiens que nous connaissons tous. Il faudra attendre les années 2010 et une pub Orangina pour dévoiler la vérité au grand jour (je vous laisse le soin de vérifier la justesse de cette conclusion fruitée).

Cette déformation inconsciente dont seuls nos cerveaux ont le secret se répète quasiment à l’identique dans un sujet plus proche du nôtre. Pour vous en convaincre, je vous propose de répondre à la question suivante :

Par quel miracle les navettes spatiales, stations internationales et autres satellites s’orientent-ils dans l’espace ?

(1) Grâce à un actionneur gyroscopique au principe indécemment complexe.
(2) À la faveur de jets d’air comprimé, qui permettent la rotation du véhicule grâce à la 3ème loi de Newton.
(3) Avec une déformation de l’espace-temps qui permet un mécanisme de cames.
(4) Par le truchement de l’article 49.3.

À tous ceux qui ont beaucoup trop regardé Alien ou Gravity (pour 2001 : l’odyssée de l’espace, vous êtes pardonnés), vous partiez avec un désavantage. En effet dans ces films, les scénaristes laissent penser qu’on peut stocker des tonnes d’air comprimé pour l’utiliser afin d’orienter les véhicules spatiaux. L’idée fonctionne, mais la bonne réponse est la réponse (1).

En d’autres termes, quand l’homme désire quitter le sol, il doit développer des mécanismes pour se déplacer dont la compréhension demande 8 ans d’études.

Il en est de même avec les engins volants, parcourus de turbines, d’hélices et de volets hydraulico-électrico-pneumatico-mécaniques (ouf). Aux amateurs de choses volantes, vous savez que je grossis le trait volontairement, c’est pour le bien de ma démonstration.

L’enjeu réside donc dans la complexité de la technologie de propulsion et de manœuvre du véhicule. Il est parfaitement possible de se passer de l’appui du sol pour se déplacer. Mais ce choix entraînera forcément l’usage de techniques plus complexes.

À l’inverse, la moto ne souffre pas de ce problème. Pour tourner à gauche, il suffit de tourner le guidon vers le gauche. Et pour avancer, il suffit d’imprimer une rotation à l’une des deux roues.

Une des raisons qui nous rend si amoureux de nos motos est sa compréhension facile : 2 roues, un guidon, un châssis, un moteur et un peu de carburant pour jaillir vers l’inconnu (ou le connu, à votre bon vouloir). Cette simplicité rustique n’est possible que parce que la moto ne vole pas.

Cette dernière phrase peut sembler surréaliste, mais elle révèle un premier enjeu de la moto : une moto doit rouler sur un sol.

Sa composition de calcaire ou d’argile, bitume ou sable, glace ou lave, ne sont que des variations d’une même substance : le sol est sol. À l’inverse de la chaise, pour laquelle il est complexe d’expliquer ce qui fait qu’une chaise est chaise , le sol est parfaitement simple à caractériser.

Le sol est ce qui permet à la moto d’être moto. Car sans lui, pas de moto. J’irais même plus loin :

Le sol est ce qui permet la vie. Car sans sol, pas de moto ; sans moto, pas de raison de vivre…

Le pneu, médiateur et interface vitale

Si nous accordons plus de confiance que mérité à la dernière phrase du paragraphe précédent, il apparaît évident que l’interface entre le sol et la moto est un enjeu crucial.
Autrement dit, le contact si rassurant entre notre carcasse mécanique et notre mère la terre doit être matérialisé par un composant de confiance.

Ce maillon essentiel, nous le connaissons bien et nous avons pourtant l’injuste habitude de l’oublier : le pneu.

Outre l’embarras qu’il procure aux non-francophones qui s’essaient à prononcer son nom, le pneu est un héros du quotidien comme il ne s’en fait plus. Parmi ceux-là, on compte par exemple la roue (sans laquelle l’être humain serait bien peu de chose), et la légendaire pédale pour lever le couvercle de la poubelle sans la toucher.

Le combat que mènent nos pneus est quasiment mythologique. Ils se frottent constamment au bitume brûlant, aux poussières aveuglantes et aux pavés acérés. Ils font le sale travail pendant que nous nous gargarisons de la vitesse qu’ils permettent, et du vent qui fait claquer l’armure de tissus qui recouvre notre peau.

Leur qualité de faire-valoir nous fait oublier à quel point les pneus sont la quintessence du génie humain. Tenez, vérifiez par vous-même.

Le caoutchouc qui constitue le pneu est bien connu pour sa déformabilité et son élasticité. Cela en fait le parfait candidat pour remplir sa mission, puisqu’il se doit d’être irréprochable sur ces deux critères.

Cette exigence nous permet de maintenir à tous moments le contact entre la roue et le sol, même en cas de rencontre inopportune d’obstacles.
La marche avant se doit d’être inéluctable, et le pneu en caoutchouc le permet. Qu’importent les cailloux et les nids-de-poule, les insectes et les dragons, le pneu avalera les accros les uns après les autres.

Mais l’esprit humain ne se contente pas d’une sélection du matériau parfait. Il écoute sa fougue et sculpte le caoutchouc pour améliorer encore la déformabilité du pneu et son accroche.

Ainsi apparaissent sur le sol des traces bien connues des animaux autrefois nos prédateurs. Ils reconnaissent l’empreinte du conquérant inconséquent et avide. Fuyez pauvres fous, l’Homme est retors et ambitieux, et pour votre plus grand malheur, il a le génie.

Ainsi les pneus sont le résultat d’une savante optimisation à la fois du matériau et de la géométrie.

Ce sont des composants mécaniques très complexes et de nombreux progrès sont encore à venir. Leurs performances ne cessent d’augmenter, et on peut espérer quelques révolutions technologiques dans les prochaines années. L’objectif étant de propulser toujours plus efficacement notre moto.

Pneu = adhérence = propulsion

Afin de faire bondir notre machine vers l’avant, le pneu se sert d’un principe que nous n’avons pas encore évoqué : l’adhérence.

L’idée est parfaitement banale, et consiste à adhérer au sol quelques instants pour s’y agripper et avancer. Ce phénomène est primordial à intégrer pour la suite de l’article, et il me semble important de m’y attarder quelques instants.

Pour faciliter la compréhension de chacun, mais aussi pour dévoiler ma qualité spectaculaire de dessinateur PowerPoint, je vous propose d’utiliser les sempiternels (et toujours fidèles) dessins.

schema roulement sans glissement moto electrique

Lorsque vous utilisez la rotation d’une roue pour vous déplacer, votre objectif est de convertir une rotation en translation.
Nous pouvons le voir sur le dessin ci-dessus, la roue à gauche est en contact avec le sol au niveau du point rouge. Lorsque nous faisons tourner cette roue, elle va se déplacer vers la droite d’une certaine distance.

Cette distance dépend de la rotation que la roue aura effectuée.
Cette rotation s’exprime en termes de distance angulaire, qui n’est rien d’autre qu’un angle. Elle peut être par exemple de 5°, comme de 1260° (3 tours et demi). Sur notre dessin, il est de 200°, soit un peu plus d’un demi-tour (exprimé par la flèche circulaire verte).

Pour transformer cette rotation de 200° en avancée (et donc en translation), il faut que la roue adhère au sol pour transmettre le mouvement.

Dans le meilleur des cas, la roue procède à ce que l’on appelle un roulement sans glissement. C’est-à-dire que le contact entre la roue et le sol est parfait, et reste parfait pendant toute la rotation.

Dans ce cas, la distance de translation est égale à la distance angulaire.
Autrement dit, la flèche verte linéaire est aussi longue que la flèche verte circulaire. Le cas opposé est lorsque le contact est « nul » : la roue n’adhère pas au sol, et tourne dans le vide. Elle glisse lamentablement.

La réalité, comme vous pouvez l’imaginer, est située entre ces deux cas extrêmes.

Pourtant, l’objectif est d’approcher au plus possible du roulement sans glissement, car il permet de transmettre 100% de la rotation en avancée (et donc en translation).

L’enjeu est d’adhérer le plus possible à la route, pour que le rendement soit le plus grand possible. C’est là le rôle du pneu.

Il s’évertuera à garantir une adhérence optimale, afin de propulser ses passagers (vous et votre moto préférée) vers la destination souhaitée. Notons d’ailleurs que c’est le même principe en cas de freinage, l’objectif étant d’adhérer au sol pour ralentir au plus vite.

Les performances de votre moto seront donc étroitement liées aux performances de vos pneus. Et comme Christophe Dechavanne aime le rappeler :

Sortez couverts, et ménagez vos pneus.

Comprendre les efforts de contact entre le pneu et le sol

Nous l’aurons compris, le pneu utilise sa capacité d’adhérence pour convertir la rotation de la roue en une avancée de votre moto.

Pour y parvenir, il suffit d’insuffler une force de rotation dans la roue, et espérer que cette force soit entièrement transmise par le pneu au sol. L’objectif est alors de se rapprocher le plus possible du roulement sans glissement évoqué plus tôt.

Le pneu agit donc comme une courroie de transmission entre le moteur de la moto et le sol.

Et qui dit courroie de transmission, dit transmission d’efforts. Et qui dit transmission d’efforts, dit mécano qui court les bras en l’air comme une poule décapitée car parait-il, « les efforts c’est trop bien ».

Pourquoi un tel enthousiasme ? Simplement car évaluer et connaître tous les efforts nous permet de prévoir exactement le comportement de notre moto.

Ce que théoriquement nous désirons, car c’est toujours plus pratique de maitriser sa moto. Sans quoi, nous serions bien plus nombreux à gouter les platanes qui bordent nos routes.

Nous allons être servis, car les pneus sont le lieu de villégiature de 6 actions mécaniques, répondant aux 6 degrés de liberté de tout objet libre dans un repère en 3 dimensions. À tous ceux qui n’ont pas la moindre idée de ce qu’est un degré de liberté, ne paniquez pas. Je suis ici pour vous évangéliser et vous éclairer sur cette notion pas si difficile à comprendre.

Les mécanos aguerris qui maitrisent cette notion peuvent sauter ce passage, il suffit de cliquer ici pour faire un bond temporel. Oui, je sais. C’est impressionnant.

Les degrés de liberté, expliqués par la gym et Angela Merkel

À ceux qui sont restés, revenons à nos moutons et à leur 6 degrés de liberté. Qu’est-ce que ce jargon peut bien vouloir dire ? En réalité, c’est très simple.

Que vous le vouliez ou non, nous évoluons dans un espace à 3 dimensions. Ce qui veut dire que la localisation de chaque objet peut être définie à l’aide d’une combinaison de ces 3 dimensions.

Lorsque nous enfourchons notre moto pour nous rendre au G7 (car nous sommes attendus et Angela déteste quand on arrive en retard), nous rejoignons un point sur la carte. Ce point peut être facilement repéré par rapport à nous : 50 km à l’ouest, 10 km au sud et 15 m d’altitude (c’est bien connu, le G7 est toujours au 3ème étage, la porte de droite).

Ainsi, quand nous nous déplaçons, nous ne répondons à rien d’autre qu’à une combinaison de ces 3 dimensions. Nous sommes libres de nous déplacer selon ces 3 directions, ce qui nous confère 3 degrés de liberté. Ceux-là sont appelés degrés de liberté de translation.

Mais vous l’aurez noté, dans la vie, nous ne faisons pas que nous déplacer dans ces 3 directions. Nous nous sommes aussi trouvé un talent époustouflant : nous sommes capables de tourner sur nous-même. Notre dextérité légendaire ne s’arrête pas là, puisque nous savons tourner sur nous-même de 3 manières différentes.

Ne me croyez pas sur parole, et constatez plutôt. Vous pouvez tourner autour de votre axe vertical, comme une toupie. Mais vous avez aussi le pouvoir de faire une roulade vers l’avant. Enfin, vous avez la chance de pouvoir faire des roues sur le côté. Vous êtes donc libres de tourner selon ces 3 directions. En d’autres mots, vous êtes dotés de 3 degrés de liberté de rotation.

Si vous êtes bons en calcul mental, vous comprenez que tous les objets non contraints dans un espace en 3 dimensions possèdent 6 degrés de liberté : 3 en translation, 3 en rotation.

Et si je vous ai perdus avec mes histoires de G7, peut-être vous comprendrez mieux avec une mouche qui louche. J’ai expliqué plus en détail les degrés de liberté dans cet article, vous pouvez lire la partie consacrée si votre cerveau fait des cabrioles.

Les 6 actions mécaniques qui agissent sur vos pneus

Comme tout bon objet balloté dans un espace à 3 dimensions, nos pneus ont 6 potentiels degrés de liberté. Et devinez quoi : chaque degré de liberté peut être contrarié par une action mécanique extérieure. Autrement dit, les pneus ne sont pas si libres que ça.

Si vous le voulez bien, énumérons les différentes actions qui peuvent agir sur nos pneus, et essayons de comprendre leurs implications.

schema degres de liberte pneu libre moto electrique

En conditions libres, donc en lévitation au-dessus de la route, nos pneus ont les 6 degrés de liberté illustrés sur le dessin au-dessus. Nous voyons bien les 3 translations et les 3 rotations.

Mais nous l’avons démontré dans les lignes précédentes, la moto roule sur un sol. Et lorsque l’on rajoute ce sol divin (et la carcasse de la moto électrique), le monde s’écroule :

Tous les degrés de libertés sont contrés par des actions mécaniques.
schema efforts pneu moto electrique

Répondant aux 3 degrés de liberté de translation, les actions mécaniques extérieures sont les suivantes :

  • Une force longitudinale au niveau du point de contact rouge, qui est supposée positive si c’est une force de propulsion et négative si c’est une force de freinage.
  • Une force verticale qui correspond au chargement vertical qui agit sur la roue. Elle est positive et orientée de la route vers la roue. Elle agit elle aussi sur le point de contact.
  • Une force latérale, dans le plan de la route, qui s’exerce sur le point de contact entre le pneu et la route.
schema moments pneu moto electrique

Répondant aux degrés de liberté de rotation, les actions mécaniques extérieures sont listées ci-dessous. Elles s’expriment sous la forme de moments, nom que l’on donne aux actions qui permettent une rotation :

  • Un moment de renversement, qui correspond au moment transmis par la moto lorsque le motard la penche sur le côté (pendant un virage par exemple). Ce moment s’applique au niveau du point de contact.
  • Un moment de résistance au roulement (MW) , qui témoigne de l’action du sol sur la roue. Il s’oppose à la rotation de la roue. Il découle d’un effort au niveau du point de contact, mais s’exerce au niveau du centre de la roue, car il empêche la rotation autour de l’axe de la roue.
  • Un moment de lacet, qui se réveille quand le motard tourne le guidon, et agit en opposition. Ce moment s’exerce sur le point de contact.

À la fois adversaire et coéquipier : le sol se joue de nous

Si l’on décortique bien les 6 actions listées, on remarque rapidement que seulement 2 actions interviennent dans la propulsion de la moto :

  • la force de propulsion (ou de freinage),
  • et le moment de résistance au roulement MW .

Les autres actions ne sont certes pas négligeables, mais elles ne nous intéressent pas dans l’optique de faire avancer votre moto.

schema actions agissant sur la translation moto electrique

Forts de ce constat éclairé (félicitons-nous de notre œil acéré qui a réussi à voir ces deux actions), nous pouvons maintenant nous lamenter.

Car la nature fait parfois bien les choses, mais elle s’est montrée taquine cette fois-ci. Vous l’aurez deviné, et vous pouvez aussi le voir sur le dessin au-dessus : le moment de résistance au roulement et la force de propulsion sont de sens opposés.

Ce qui implique une cruelle réalité : le sol se joue de nous, et postule pour le rôle de l’antagoniste le plus réussi de l’histoire.

À l’instar de Dark Vador, le sol est à la fois indispensable à la fin heureuse mais pourtant agit de tout son poids pour nous punir de notre ambition. Quentin Dupieux avait vu juste en consacrant un film entier à un pneu comme personnage principal, luttant contre son meilleur ennemi, le sol du désert américain.

Accordons-nous le repos de l’âme et acceptons cette triste réalité. Le sol a décidé de résister au roulement de nos pneus, et par métonymie (objectif atteint : un mot compliqué par article), il résiste à notre avancée.

Qu’à cela ne tienne, il suffit de surpasser ce moment de résistance au roulement pour atteindre le nirvana promis par notre moto. Pas vrai ?

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Si une notion n’est pas claire, on peut en discuter

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N.B : vous pouvez aussi copier/coller l’adresse julien@construire-sa-moto-electrique.org dans votre boite mail.
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Vaincre la résistance au roulement : comment propulser votre moto vers l’infini et au-delà

En effet, si l’on raisonne avec un peu de logique, on se dit qu’il suffit de dominer la résistance au roulement pour propulser notre moto.

Ce qui correspond à calculer la puissance perdue à cause de la résistance au roulement, pour injecter une puissance suffisante dans la roue afin de nous envoyer vers la lune.

Et puis, faisant contre mauvaise fortune bon cœur, toute la puissance qui ne serait pas perdue dans la résistance au roulement nous permettrait de tutoyer les étoiles et leur frou-frou.

La résistance au roulement – d’où vient-elle ?

Nous sommes en droit de nous poser la question de l’origine de ce moment de résistance au roulement MW qui nous pose tant de problèmes.

Ce qui est embêtant, c’est que cette fois, l’explication n’est pas aussi simple que d’habitude. Ce qui est d’autant plus embêtant, c’est que je commence généralement la plupart de mes explications en prévenant au contraire que c’est simple à comprendre.

C’est pourquoi je vous propose d’oublier ce que je viens de dire. Nous allons prendre notre temps, et ça coulera tout seul. Comme une rose (ou Boromir, pour les adeptes de Tolkien) sur un ruisseau paisible, nous allons naviguer en cherchant comme toujours la voie du moindre effort.

La différence entre une roue idéale et une roue chargée par un éléphant

Revenons au temps béni où nous ne savions rien de la résistance au roulement. À cette époque, nous dessinions les roues ainsi :

schema roue dechargee moto electrique

De quelle attendrissante innocence nous faisions preuve. Vous pouvez regarder de plus près : le pneu touche le sol en un seul point. Ça en est presque drôle non ? Ça l’est d’autant plus au regard des louanges que je faisais quelques lignes plus haut concernant la déformabilité du pneu.

Car en réalité, le pneu subit son propre poids et le poids d’autres parasites (nous et notre moto électrique). Par leur action carabinée, il s’enfonce dans la chaussée.

schema roue chargee par un elephant

Pour donner un enjeu dramatique à l’image précédente, j’ai fait le choix d’affecter le confort d’un pauvre éléphant qui n’en demandait pas tant, et de le mettre en équilibre sur un monocycle géant.

La plateforme sur laquelle repose l’imposant descendant des mammouths semble assez vaste pour aider à conserver son équilibre, tant que le système est immobile.

Mais vous savez autant que moi que nous aimerions en savoir plus sur le mouvement de cette roue. Sans quoi, à quoi bon utiliser une roue ? L’éléphant serait bien plus à son aise sur une roue carrée. Il n’en est rien, alors essayons de secouer cette roue en la faisant tourner.

schema roue moto bloquee éléphant

Mais ce qui devait arriver arriva. La roue était comprimée par terre, elle a opposé trop de résistance à la rotation imprimée par le moteur.

La roue ne voulant pas sortir de son immobilité, c’est le monocycle qui s’est renversé, entrainant dans sa chute l’éléphant innocent. Le moteur était bien trop faible. Mais il ne s’avoue pas vaincu.

Il achète un moteur plus puissant, mais son équilibre est trop instable. Il persévère, tombe et retombe, puis il finit par trouver l’équilibre. Le monocycle avance, que dis-je, il avance ? Il fuse !

schema roue moto chargee avancee

Passée l’émotion de voir un éléphant apprenant à conduire, un détail est censé réveiller notre cerveau de mécanicien.

Oui, vous l’avez vu : la roue s’est enfoncée dans le sol.

Le pneu s’est déformé et le centre de la roue est plus proche du sol. Il y a très probablement une histoire de diamètres et de rayons là-dedans.

Comprendre le rayon de roulement

Il doit forcément y avoir une incidence sur le roulement de la roue, puisque le centre de la roue n’est plus à sa distance normale du sol.

Cette distance est censée être égale au rayon de la roue.

Ce qui veut dire que quand la roue chargée fait un tour, elle ne parcourt pas la même distance que la roue déchargée ayant fait un tour.
schema roue dechargee et roue chargee moto

D’intuition, on comprend bien que la réalité sera comme dans le dessin ci-dessus.

La roue de l’univers idéal sans aucun chargement ira plus loin que la roue de notre univers, malgré une même rotation. Elles partent du même point, tournent de 200° toutes les deux, mais la roue du paradis va toujours plus loin que la roue terrestre.

Ce phénomène implique une réduction du diamètre de la roue, puisqu’en faisant une même rotation, elle va moins loin.

C’est ce qu’on appelle le diamètre de roulement, même si on préfèrera parler du rayon de roulement par la suite.

Ce rayon a pour simple but de modéliser la réduction de diamètre de la roue, pour illustrer l’impact sur la distance qu’elle parcourt lorsqu’elle tourne. Reste à savoir à quoi correspond ce rayon de roulement.

En y regardant de plus près (avancez votre œil vers votre écran), vous pourrez voir que les points rouges et jaunes sont placés différemment. En haut, les points rouges et jaunes sont les points de contacts du monde idéal. Ils sont donc virtuels, puisqu’ils n’existent jamais comme tels.

En bas, ce sont des points virtuels de contact, qui correspondent aux points de contact si la roue ne s’était pas déformée, mais avait parcouru le même chemin pour une rotation de 200°. Autrement dit : laissons tomber, je vais vous le dessiner. Les mots sont rarement aussi fidèles que les dessins.

schema roue charge et roue ideale moto

Voilà qui semble plus lisible.

L’idée est très simple, puisqu’il s’agit de se débarrasser de cette histoire compliquée de roue qui s’écrase contre le sol, avec toutes les complications que ça implique.

À la place d’une roue qui se déforme, on fait correspondre une roue idéale, qui ne se déformera jamais contre le sol, à laquelle on attribue les données de la roue réelle.

Pour que les deux roues aient le même comportement, le diamètre extérieur de la roue virtuelle doit être égal au diamètre de roulement de la roue réelle. Grâce à cette subtile pirouette, nous pouvons oublier en quelque sorte l’aplatissement de la roue.

La signification physique du diamètre de roulement est donc simplement le diamètre qu’aurait une roue idéale sans écrasement, qui parcourrait la même distance pour une même rotation.

À nouveau, les dessins seront plus explicites :

schema roue charge et ideale moto avance
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Les formules qui suivent ont parfois besoin d’être éclaircies

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N.B : vous pouvez aussi copier/coller l’adresse julien@construire-sa-moto-electrique.org dans votre boite mail.

Calculer le rayon de roulement

Nous l’avons donc compris, le rayon de roulement permet de mieux comprendre le comportement d’une roue chargée, en modifiant virtuellement son diamètre pour qu’elle agisse comme une roue parfaite.

Et comme nous l’avons vu dans les dessins précédents, le rayon de roulement est la valeur qui lie la rotation de la roue, et son avancée.

C’est pourquoi, ce rayon de roulement R0 se modélise en équation comme un ratio de la vitesse d’avancée et la vitesse de rotation. Jusqu’à présent je parlais de vitesse d’avancée, mais le vrai terme est la vitesse d’avance. Dorénavant, je parlerai de vitesse d’avance :

R_0=\frac{V}{\omega}


Avec :
R0 : Le rayon de roulement (en m)
V : La vitesse d’avance de la roue (en m/s)
\omega [oméga] : La vitesse de rotation de la roue (en rad/s [radians par seconde])

Cette équation, bien que très simple et élégante, nous laisse forcément pensifs. En tant qu’apprentis démiurges (synonyme de mécanicien talentueux), nous aimons voir le futur.

Cette formule fait exactement l’inverse, puisqu’elle nous donne le rayon de roulement après avoir mesuré la vitesse d’avance et de rotation.

Nous ne mangeons pas de ce pain-là, nous voulons tout savoir de notre moto électrique avant même de la voir trôner sous nos yeux. Nous voulons concevoir chaque parcelle de peau, chaque millimètre de nerfs, chaque goutte de sang.

Je risque de vous décevoir. Ce rayon de roulement est très complexe à calculer, car il dépend du type de pneu, de sa rigidité radiale, de son chargement, de son gonflage et de sa vitesse d’avancée. Autant dire qu’il est plus productif de chercher un burger savoureux au McDo que de vouloir calculer précisément le rayon de roulement des pneus de votre moto électrique.

La solution est bien plus poétique que le besoin avide d’exactitude exhaustive, puisqu’elle encourage au lâcher prise.

À l’instar d’Epicure – qui conseille l’absence de douleurs par la suppression des désirs non naturels et non nécessaires – nous allons calmer notre appétit vorace. Et lui laisser le soin de nous surprendre par une symphonie de son cru.

Pour ce faire, nous allons préférer l’approximation.

Celle qui permet de se rapprocher au plus possible du vrai rayon de roulement, avec le moins d’efforts possible pour notre cerveau meurtri.

À l’ère des simulations numériques lourdes et souvent superflues, une courte formule peut permettre de gagner un temps précieux pour un résultat à peine moins juste.

Attention, la formule qui suit donne le rayon de roulement de la roue en mouvement libre.

Ce qui veut dire que lorsque la roue est entrainée en rotation ou freinée, elle n’est pas libre. Ce qui veut aussi dire que le rayon de roulement dans ces situations n’est pas donné par l’équation suivante. Nous voilà ravis.

R_0=R - \frac{R-h}{3}


Avec :
R0 : Le rayon de roulement (en m)
R : Le rayon de la roue déchargée (en m)
h : La hauteur de la roue (en m)
3 : Le chiffre 3

Et pour ceux qui n’aiment pas lire, mais qui ont atterri à ce stade avancé de l’article par je ne sais quel miracle, un dessin :

schema roue moto longueurs

Qu’entends-je ? Des voix qui se plaignent que dans cette formule aussi, on a besoin d’avoir notre moto sous les yeux pour savoir la hauteur h de la roue chargée ? Oui. Bien vu.

C’est tout ce que Vittore Cossalter a bien voulu me dire dans sa bible Motorcycle Dynamics. La morale de cette histoire est que même ceux qui écrivent une bible peuvent être incomplets.

La morale de cette morale est que j’espère trouver une formule plus précise et plus complète dans le futur. Un autre article sera probablement consacré à ce sujet, car le rayon de roulement intervient directement dans le calcul du moment de résistance au roulement.

Maintenant, nous avons toutes les armes pour calculer ce moment de résistance au roulement MW.

Nous savons qu’il est causé par un aplatissement du pneu. Nous savons aussi que cet aplatissement se modélise par une diminution du rayon de roulement.

Poursuivons sur notre lancée, nous sommes proches du but. Si, je vous promets, nous sommes bientôt arrivés.

Calculer le moment de résistance au roulement de votre moto électrique

Chose promise, chose due, nous voici sur le point de calculer l’action qui rend le sol récalcitrant et qui nous ralentit dans notre quête de vitesse à moto.

Je disais donc quelques lignes plus haut, que le moment de résistance au roulement MW procède de l’aplatissement du pneu contre le sol.

Certes. Mais si ce n’était que ça, il n’y aurait pas de résistance au roulement.

En réalité, il y a un deuxième phénomène qui est entraîné par cet écrabouillement lamentable du pneu sur la route.

Ce phénomène est très complexe, et sera traité en détail dans un futur article. Mais en quelques mots, il consiste en un déplacement du point d’application de la réaction du sol vers l’avant de la zone de contact du pneu lorsque la moto avance.

C’est-à-dire que le pneu, au lieu de s’appuyer de manière uniforme sur toute la zone de contact, appuie plus sur l’avant de cette zone.

Ce qui est assez compréhensible instinctivement : on imagine bien la roue qui tourne et qui vient mordre le sol plus puissamment lorsqu’elle touche le sol que lorsqu’elle le quitte.

En d’autres termes, dessinons-le :

schema repartition reaction sol moto electrique

À gauche, la roue est immobile. La répartition du poids sur la zone de contact est donc constante.

À droite, la roue avance. La répartition du poids n’est plus constante, car le pneu mord plus le bitume à l’avant qu’à l’arrière de la zone de contact.

En additionnant chaque flèche verte représentant le poids et en la plaçant sur le point moyen, on obtient une seule et même flèche représentant la répartition du poids.

schema resultante reaction sol moto electrique

La flèche est centrée lorsque la roue est immobile, mais elle se déporte vers l’avant lorsque la roue avance.

Félicitons-nous, nous venons de mettre en lumière le principe de la résistance au roulement. Vous ne voyez pas encore pourquoi ? N’ayez crainte, nous y venons. Mais le plus dur est fait.

Concentrons-nous sur la roue de droite. Il suffit de poser votre doigt gauche sur le point noir qui représente le centre d’une roue de votre moto préférée. Je vous invite maintenant à poser votre doigt droit (pas facile à prononcer) sur la flèche verte, puis de le remonter dans le sens de la flèche.

Vous le sentez bien, cette action entraîne une rotation de la roue, dans le sens de la flèche verte :

schema moment de resistance au roulement moto electrique

Cette force qui entraine une rotation est l’exacte définition d’un moment.

Mais ce moment ne se contente pas de faire tourner la roue, puisqu’il est de sens opposé à la flèche rouge, qui fait tourner la roue vers l’avant.

Comme il est de sens opposé, c’est un moment de résistance. Étant donné qu’il est opposé à l’avancée (et donc au roulement), c’est un moment de résistance au mouvement.

Reste maintenant à le calculer. Cette fois, la théorie est assez accessible.

Le moment de résistance est engendré par une force, modélisée par la flèche verte. Jusqu’à maintenant, tout le monde me suit.

Ce moment est d’autant plus grand que cette force est grande. En effet, quand la force augmente, elle oppose plus de résistance au roulement, le moment est donc plus grand.

D’autre part, plus la distance d qui sépare la flèche du centre de la roue est grande, plus le moment est grand.

Là aussi, on le comprend instinctivement : il est plus facile de tenir un poids quand il est proche de nous que quand il est loin.
Ce phénomène est dû à ce qu’on appelle dans le language courant le bras de levier. Dans le cas de la roue de moto, d est le bras de levier.

En résumé, le moment de résistance au roulement MW est directement proportionnel à la fois à la force et au bras de levier.

Autrement dit, il augmente quand la force augmente mais aussi quand le bras de levier augmente. Mathématiquement, cette corrélation s’écrit très simplement :

M_W=d \times P


Avec :
MW : Le moment de résistance au roulement (en Nm [Newton mètre])
d : La bras de levier, ou la distance entre le point d’application de la force et le centre de la roue (en m)
P : La force de chargement du pneu (en N [Newton])

Convertir un moment de résistance au roulement… en une force de résistance au mouvement

Tout le monde est content, nous venons de trouver la formule du moment de résistance au roulement.

Avant de nous réjouir, observons un détail : quand nous sommes sur notre moto électrique, nous avançons. Nous nous propulsons fièrement. À quel moment sommes-nous donc concernés par cette sombre histoire de moments ? Jamais !

Un moment est une action mécanique qui entraine une rotation. Bien à elle, mais nous ne tournons pas, nous et notre bécane. Nous bondissons vers l’avant comme des tigres.

Alors transformons ce moment en une force linéaire parallèle à notre avancée. Il est bien plus simple d’appréhender la résistance du sol sous forme de force linéaire que sous forme de moment.

Nous venons de voir que le moment de résistance au roulement MW est entrainé par une force dirigée vers le haut.

Jusqu’à preuve du contraire, les forces verticales ne sont pas dans le sens de notre avancée. Difficile donc d’imaginer que cette force verticale puisse se modéliser en force horizontale. C’est pourtant ce que je vous propose de faire.

Les plus curieux pourront se rendre ici pour comprendre le tour de passe-passe qui permet de transformer un moment en une force. Attention, c’est digne d’un professionnel du bonneteau.

Pour les autres, le résultat vient directement à vous. La force de résistance au roulement, directement opposée à notre avancée s’écrit :

F_W=\frac{d}{R_0} \times P=f_W \times P


Avec :
FW : La force de résistance au roulement (en N)
fw : Le coefficient de résistance au roulement (sans unité)
P : La force de chargement du pneu (en N)
d : La distance de déport du chargement du pneu (en m)
R0 : Le rayon de roulement (en m)

Deux équations pour le prix d’une. Elle est bonne ma brandade.

Vous voyez la délivrance approcher ? Moi aussi, quel délice. Je disais donc : l’équation que j’ai eu l’audace de vous exposer est en réalité une double équation. Deux fois plus de nourriture pour l’esprit, on se régale !

Inspirons-nous des joueurs de foot en interview d’après-match, et prenons les équations « les unes après les autres ».

Première équation : la force de résistance au roulement est égale au chargement de la roue multiplié par le ratio de la distance d sur le rayon de roulement.

C’est une excellente nouvelle, car nous ne savons calculer aucun des deux.
En effet, cette distance d introduite plus tôt dépend de mille paramètres que nous ne maitrisons pas. Qui a dit qu’on se régalait ?

La deuxième équation est en revanche motif d’espoir : elle introduit un nouveau coefficient. Peut-être serons-nous capables de domestiquer ce coefficient-là.

Selon cette deuxième équation, la force de résistance au roulement est simplement le résultat de la multiplication du chargement du pneu par un coefficient de résistance au roulement.

Je ne laisse pas durer le suspense et je fais tomber le couperet. Oui, mesdames et messieurs, nous savons calculer ce coefficient fw.

I see trees of green, red roses too. I see them bloom, for me and you. And I think to myself : what a wonderful world.

Louis Amstrong, et sa voix abîmée de fumeur

Passée cette danse de la joie sur un air de trompette, j’en viens aux faits.

Le coefficient fw de résistance au roulement dépend d’une liste de paramètres longue comme celles envoyées au père Noël (le type du pneu – radial ou diagonal, ses dimensions, ses caractéristiques matériau, sa température, ses conditions d’utilisation).

Mais nous pouvons cette fois nous gargariser d’avoir su dompter un tel coefficient. La formule est légèrement complexe, empirique (donc partiellement fausse), mais elle a le mérite de nous donner une idée assez précise de ce coefficient. Elle intègre le gonflage du pneu et la vitesse d’avance de la moto.

  • Pour des vitesses inférieures à 165 km/h (donc pour tout le temps) :
f_W=0,0085 + \frac{0,018}{p} + \frac{1,59 \times 10^-6}{p} \times V^2
  • Pour des vitesses supérieures à 165 km/h (donc jamais) :
f_W=\frac{0,018}{p} + \frac{2,91 \times 10^-6}{p} \times V^2


Avec :
fw : Le coefficient de résistance au roulement (sans unité)
p : La pression de gonflage (en bars) – les valeurs usuelles sont entre 1,5 et 3 bars –
V : La vitesse d’avancée de votre chère moto électrique (en km/h, oui vous avez bien noté, ce n’est pas en unités du système international)

Prendre en compte la résistance au roulement dans le cahier des charges de votre moto électrique

Nous y sommes enfin. Nous pouvons calculer la résistance au roulement qui s’oppose à l’avancée de notre moto électrique.

Autrement dit, nous sommes maintenant en mesure de calculer l’une des deux forces à vaincre pour propulser notre moto. Et nous pouvons d’ores et déjà retenir plusieurs points.

Le premier, le plus évident, est que la résistance au roulement est d’autant plus grande que la moto est lourde.

Car nous l’avons vu plus haut, cette résistance est directement proportionnelle au chargement des pneus.

Les autres points concernent le coefficient de résistance au roulement. Ce dernier dépend de deux paramètres :

  • la vitesse de la moto,
  • et la pression de gonflage des pneus.
Ainsi, si vous souhaitez réduire la résistance au roulement, vous serez bien inspirés de bien gonfler vos pneus, puisque plus la pression est élevée, plus le coefficient est faible.

À l’inverse – et cette fois vous n’y pourrez rien – la résistance au roulement augmente lorsque la vitesse de votre moto augmente.

Nous sommes d’accord que rouler à faible allure réduira la résistance au roulement. Mais notre but à tous est de réduire les efforts qui agissent sur notre moto pour rouler plus vite, plus longtemps, plus gaiement.

Rouler moins vite pour réduire la résistance du sol ? C’est pas vraiment le but et le serpent qui se mord la queue ne s’amuse pas très longtemps.

À noter : les valeurs du coefficient de résistance au roulement tournent généralement autour de 0,02.

Ce qui veut dire que la force qui retient la propulsion de votre moto est égale à 2% du poids (en Newton) de votre moto électrique (autant que faire se peut, nous sommes sur un site de motos électriques) avec son équipage – vous, théoriquement.

illustration resistance roulement © jean charles barbe 720px

Crissage de pneu et perte d’adhérence : le sol n’a pas fini de se jouer de nous

Nous voilà maintenant prêts à enfourcher notre valeureuse machine à deux roues : nous avons su calculer les forces qui s’opposent à notre avancée.

Elles sont au nombre de deux :

Que de chemin parcouru depuis le début de cet article. Nous n’avions aucune idée de l’existence d’un rayon de roulement qui, avouons-le, est un casse-tête à l’efficacité redoutable.

Nous avions aussi l’intuition d’une force de résistance exercée par le sol, mais nous ne savions pas comment elle s’exprimait.

Maintenant, nous sommes capables de savoir la puissance nécessaire à transmettre à nos roues pour contrer les forces qui font face à notre moto.

Il suffit de calculer les puissances des forces contraires pour ensuite imprimer une puissance supérieure à celles que nous avons calculées.

Ainsi, en choisissant la bonne puissance, nous devrions être capable d’avaler le passage de 0 à 100 km/h en une modique somme de quelques secondes.

En sommes-nous bien sûrs ? Ne nous est-il jamais arrivé de mettre les gaz avec trop d’appétit, entrainant une perte d’adhérence du pneu ? Attendez quelques secondes, laissez-moi le temps de réaliser…

Ce phénomène de crissement des pneus impliquerait alors qu’on ne peut pas transmettre au sol une puissance infinie.

Ce qui voudrait dire qu’il existe une relation entre le glissement des pneus et la puissance que notre moteur délivre afin de nous propulser.

Quelle excellente nouvelle. Gageons que le prochain article apportera plus de réponses sur ce phénomène, car nous avons bien envie de titiller le chronomètre sur le dos de notre moto électrique.

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PS : L’article sur le glissement est sorti, vous pouvez le retrouver en cliquant ici. Excellente journée !

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